·          Все начинается с понятия мнимая единица j – это абстрактное нечто, квадрат которого есть -1: j²=-1. По-другому, j=√(-1). Из этого определения непосредственно следуют равенства

j^2k= (j²)^k= (-1)^k ;          j^2k+1= j^2kj= j(-1)^k .

·          Комплексным называют число, содержащее реальную (вещественную) и мнимую части a = a’ + ja’’. Здесь подчеркивание – символ КЧ, ’ – символ реальной части КЧ, ’’ – символ мнимой части КЧ. Общеприняты и другие обозначения: a’ = Re(a), a’’ = Im(a).

·          Два КЧ называют комплексно сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части: a = a’ + ja’’ , a^* = a’ - ja’’ . Звездочка  ^* – это символ комплексного сопряжения.

 

Операции с КЧ в алгебраической форме

·          Суммирование КЧ осуществляется по правилу: a =∑(a_n) = (∑a_n’) + j(∑a_n’’) , т.е. реальные и мнимые части КЧ складываются порознь (!).

Вопрос. Может ли сумма двух КЧ с не нулевыми мнимыми частями быть числом вещественным? Для проверки своего ответа наведите курсор сюда.   

Вопрос. Может ли при суммировании двух КЧ с не нулевыми реальными частями получиться мнимое число? Для проверки своего ответа наведите курсор сюда. 

Вопрос. Чему равна сумма двух КЧ: a₁ =35-j15 и a₂ = -25+j5 ? Для проверки своего ответа наведите курсор сюда.   

·          Умножение КЧ а на вещественное число b означает умножение реальной и мнимой частей КЧ на вещественный сомножитель: b a = b a’+j b a’’. Естественно, что порядок сомножителей роли не играет.

·          При вычитании двух комплексных чисел их реальные и мнимые части вычитаются порознь.

Задание. Вычислите a₁ - a₂ , где a₁ =35-j15 и a₂ = -25+j5 .  Хотите проверить – курсор сюда. 

·          Произведение двух КЧ соответствует обычному правилу раскрытия скобок, причем с j обращаются как с коэффициентом и учитывают, что j²=-1: a = a₁ a₂ = (a₁’+ja₁’’) (a₂’+ja₂’’) = (a₁’a₂’- a₁’’a₂’’) + j(a₁’a₂’’ + a₁’’a₂’). Это легкое правило следует усвоить крепко-накрепко и лучше не запоминать последнюю формулу, а  всякий раз раскрывать скобки, не забывая про j²=-1 (!).

Задание. Запишите в алгебраической форме результат возведения КЧ в квадрат: a² = a a = (a’+ja’’) (a’+ja’’) =?  Хотите проверить – курсор сюда.   

Задание. Вычислите (1+j) (2-j) =?  Для проверки  курсор сюда.  

Задание. Вычислите (-3-j) (2+j2) =?  Для проверки  курсор сюда.  

Задание. Вычислите (1+j) (1-j) =?  Для проверки  курсор сюда.  

Задание. Убедитесь в том, что произведение КЧ на комплексно сопряженное – есть число вещественное. Для этого запишите в алгебраической форме произведение  a a^* = (a’+ja’’) (a’-ja’’) =?  Хотите проверить – курсор сюда.   

·          Деление двух КЧ выполняют следующим образом: и числитель, и знаменатель умножают на комплексно сопряженный знаменатель, сводя дело к делению на вещественное число. Итак:  a = a₁/a₂ = (a₁ a₂^*)/(a₂ a₂^*) = (a₁’+ja₁’’) (a₂’-ja₂’’) / ((a₂’+ja₂’’) (a₂’-ja₂’’)) = (a₁’a₂’ + a₁’’a₂’’)/(a₂’ ²+a₂’’ ²) +j (a₁’a₂’’ - a₁’’a₂’) /(a₂’ ²+a₂’’ ²) . Это правило следует усвоить крепко-накрепко. Едва ли следует запоминать последнюю формулу. Лучше (и надежней!) всякий раз повторять процедуру, умножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженный знаменатель и т.д.

Задание. Найдите результат (1+j)/(1-j) =?  Хотите проверить – курсор сюда.     

Задание. Вычислите (1+j)/(2-j) =?  Для проверки  курсор сюда.